Линейный коэффициент корреляции пирсона
Содержание:
Распространенные заблуждения
Корреляция и причинно-следственная связь
Традиционное изречение, что « корреляция не подразумевает причинной связи », означает, что корреляция не может использоваться сама по себе для вывода причинной связи между переменными. Это изречение не должно означать, что корреляции не могут указывать на потенциальное существование причинно-следственных связей. Однако причины, лежащие в основе корреляции, если таковые имеются, могут быть косвенными и неизвестными, а высокие корреляции также пересекаются с отношениями идентичности ( тавтологиями ), где не существует причинных процессов. Следовательно, корреляция между двумя переменными не является достаточным условием для установления причинно-следственной связи (в любом направлении).
Корреляция между возрастом и ростом у детей довольно прозрачна с точки зрения причинно-следственной связи, но корреляция между настроением и здоровьем людей менее очевидна. Приводит ли улучшение настроения к улучшению здоровья, или хорошее здоровье приводит к хорошему настроению, или и то, и другое? Или в основе обоих лежит какой-то другой фактор? Другими словами, корреляция может рассматриваться как свидетельство возможной причинной связи, но не может указывать на то, какой может быть причинная связь, если таковая имеется.
Простые линейные корреляции
Четыре набора данных с одинаковой корреляцией 0,816
Коэффициент корреляции Пирсона указывает на силу линейной связи между двумя переменными, но его значение, как правило, не полностью характеризует их взаимосвязь. В частности, если условное среднее из дано , обозначается , не является линейным в , коэффициент корреляции будет не в полной мере определить форму .
Y{\ displaystyle Y}Икс{\ displaystyle X}E(Y∣Икс){\ displaystyle \ operatorname {E} (Y \ mid X)}Икс{\ displaystyle X}E(Y∣Икс){\ displaystyle \ operatorname {E} (Y \ mid X)}
Прилегающие изображение показывает разброс участков из квартет энскомбы , набор из четырех различных пар переменных , созданный Фрэнсис Анскомбами . Четыре переменные имеют одинаковое среднее значение (7,5), дисперсию (4,12), корреляцию (0,816) и линию регрессии ( y = 3 + 0,5 x ). Однако, как видно на графиках, распределение переменных сильно отличается. Первый (вверху слева), кажется, распределен нормально и соответствует тому, что можно было бы ожидать, рассматривая две коррелированные переменные и следуя предположению о нормальности. Второй (вверху справа) не распространяется нормально; хотя можно наблюдать очевидную взаимосвязь между двумя переменными, она не является линейной. В этом случае коэффициент корреляции Пирсона не указывает на то, что существует точная функциональная связь: только степень, в которой эта связь может быть аппроксимирована линейной зависимостью. В третьем случае (внизу слева) линейная зависимость идеальна, за исключением одного выброса, который оказывает достаточное влияние, чтобы снизить коэффициент корреляции с 1 до 0,816. Наконец, четвертый пример (внизу справа) показывает другой пример, когда одного выброса достаточно для получения высокого коэффициента корреляции, даже если связь между двумя переменными не является линейной.
у{\ displaystyle y}
Эти примеры показывают, что коэффициент корреляции как сводная статистика не может заменить визуальный анализ данных. Иногда говорят, что примеры демонстрируют, что корреляция Пирсона предполагает, что данные следуют нормальному распределению , но это верно лишь отчасти. Корреляцию Пирсона можно точно рассчитать для любого распределения, имеющего конечную матрицу ковариаций , которая включает большинство распределений, встречающихся на практике. Однако коэффициент корреляции Пирсона (вместе с выборочным средним и дисперсией) является достаточной статистикой только в том случае, если данные взяты из многомерного нормального распределения. В результате коэффициент корреляции Пирсона полностью характеризует взаимосвязь между переменными тогда и только тогда, когда данные взяты из многомерного нормального распределения.
Как рассчитать коэффициент корреляции
Давайте продемонстрируем механизм получения коэффициента корреляции на реальном кейсе. Допустим, у нас есть таблица с информацией о суммах продаж и рекламу. Нам нужно понять, в какой степени количество продаж и количество денег, которые были использованы на продвижение, взаимосвязаны.
Способ 1. Определение корреляции с помощью Мастера Функций
Функция КОРРЕЛ – один из самых простых методов, как можно реализовать поставленную задачу. В своем общем виде этот оператор имеет следующий вид: КОРРЕЛ(массив1;массив2). Как же ее ввести? Для этого нужно осуществлять следующие действия:
- С помощью левой кнопки мыши выделяем ту ячейку, в которой будет находиться получившийся коэффициент корреляции. После этого находим слева от строки формул кнопку fx, которая откроет инструмент ввода функций.
- Далее выбираем категорию «Полный алфавитный перечень», в котором ищем функцию КОРРЕЛ. Как видно из названия категории, все названия функций располагаются в алфавитном порядке.
- Далее открывается окно ввода параметров функции. У нас два основных аргумента, каждый из которых являет собой массив данных, которые сравниваются между собой. В поле «Массив 1» указываем координаты первого диапазона, а в поле «Массив 2» – адрес второго диапазона. Для ввода данных массива, используемого для расчета, достаточно выделить нажать левой кнопкой мыши по соответствующему полю и выделить правильный диапазон.
- После того, как мы введем данные в аргументы, нажимаем кнопку «ОК», чем подтверждаем совершенные действия.
После выполнения описанных выше шагов мы видим в ячейке, выбранной нами на первом этапе, коэффициент корреляции. В нашем примере он составляет 0,97, что указывает на очень сильно выраженную взаимосвязь между данными двух диапазонов.
Способ 2. Вычисление корреляции с помощью пакета анализа
Также довольно неплохой инструмент для определения корреляции между двумя диапазонами – пакет анализа. Но перед тем, как его использовать, нам надо его включить. Для этого выполняем следующие действия:
- Нажимаем на кнопку «Файл», которая находится в левом верхнем углу сразу возле вкладки «Главная».
- После этого открываем раздел с настройками.
- В меню слева переходим в предпоследний пункт, озаглавленный, как «Надстройки». Делаем левый клик по соответствующей надписи.
- Открывается окно управления надстройками. Нам нужно переключить поле ввода, находящееся внизу, на пункт «Надстройки Excel» и нажать на «Перейти». Если это поле уже находится в таком положении, то не выполняем никаких изменений.
- Затем включаем пакет анализа в настройках. Для этого ставим соответствующую галочку и нажимаем на кнопку «ОК».
Все, теперь наша надстройка включена. Теперь мы во вкладке «Данные» можем увидеть кнопку «Анализ данных». Если она появилась, то мы все сделали правильно. Нажимаем на нее.
Появляется перечень с выбором разных способов анализа информации. Нам следует выбрать пункт «Корреляция» и нажать на «ОК».
Затем нам нужно ввести настройки. Основное отличие этого метода от предыдущего заключается в том, что нам нужно вводить полностью диапазон, а не разрывать его на две части. В нашем случае, это информация, указанная в двух столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».
Не вносим никаких изменений в параметр «Группирование». По умолчанию выставлен пункт «По столбцам», и он правильный. Эта настройка определяет, каким образом программа будет разбивать данные. Если же наши данные были бы представлены в двух рядах, то надо было бы изменить этот пункт на «По строкам».
В настройках вывода уже стоит пункт «Новый рабочий лист». То есть, информация о корреляции будет располагаться на отдельном листе. Пользователь может настроить место самостоятельно с помощью соответствующего переключателя – на текущий лист или в отдельный файл. Проверяем, все ли настройки были введены правильно. Если да, подтверждаем свои действия нажатием на клавишу «ОК».
Поскольку мы оставили поле с данными о том, куда будут выводиться результаты, таким, каким оно было, мы переходим на новый лист. На нем можно найти коэффициент корреляции. Конечно, он такой же самый, как был в предыдущем методе – 0,97. Причина этого в том, что вычисления производятся одинаковые, исходные данные мы также не меняли. Просто разными методами, но не более.
Таким образом, Эксель дает сразу два метода осуществления корреляционного анализа. Как вы уже понимаете, в результате вычислений итог получится таким же. Но каждый пользователь может выбрать тот метод расчета, который ему больше всего подходит.
Как работает функция ПИРСОН в Excel?
Рассмотрим пример расчета корреляции Пирсона между двумя массивами данных при помощи функции PEARSON в MS EXCEL. Первый массив представляет собой значения температур, второй давление в определенный летний период. Пример заполненной таблицы изображен на рисунке:
Задача следующая: необходимо определить взаимосвязь между температурой и давлением за июнь месяц.
Пример решения с функцией ПИРСОН при анализе в Excel
- Выберем ячейку С17 в которой должен будет посчитаться критерий Пирсона как результат и нажмем кнопку мастер функций «fx» или комбинацию горячих клавиш (SHIFT+F3). Откроется мастер функций, в поле Категория необходимо выбрать «Статистические». В списке статистических функций выбрать PEARSON и нажать Ok:
- В меню аргументов выбрать Массив 1, в примере это утренняя температура воздуха, а затем массив 2 – атмосферное давление.
- В результате в ячейке С17 получим коэффициент корреляции Пирсона. В нашем случае он отрицательный и приблизительно равен -0,14.
Данный показатель -0,14 по Пирсону, который вернула функция, говорит об неблагоприятной зависимости температуры и давления в раннее время суток.
Проверяем значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).
Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения,
необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:
| t = |
|
( 2.1 ) |
Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента
и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (tкр.α) при заданном уровне
значимости α. Если вычисленное по формуле ( 2.1 ) t по модулю окажется меньше
чем tкр.α, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные
данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.
2.1.t
| t = |
|
= -5.08680 |
2.2.ttкр.αtкр.αα24α0.05tкр.α2.064
Таблица 2 t-распределение
| Число степеней свободы( n — 2 ) | α = 0.1 | α = 0.05 | α = 0.02 | α = 0.01 | α = 0.002 | α = 0.001 |
| 1 | 6.314 | 12.706 | 31.821 | 63.657 | 318.31 | 636.62 |
| 2 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 22.327 | 31.598 |
| 3 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 10.214 | 12.924 |
| 4 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 7.173 | 8.610 |
| 5 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 5.893 | 6.869 |
| 6 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 5.208 | 5.959 |
| 7 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.785 | 5.408 |
| 8 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 4.501 | 5.041 |
| 9 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 4.297 | 4.781 |
| 10 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 4.144 | 4.587 |
| 11 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 4.025 | 4.437 |
| 12 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.930 | 4.318 |
| 13 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.852 | 4.221 |
| 14 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.787 | 4.140 |
| 15 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.733 | 4.073 |
| 16 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.686 | 4.015 |
| 17 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.646 | 3.965 |
| 18 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.610 | 3.922 |
| 19 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.579 | 3.883 |
| 20 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.552 | 3.850 |
| 21 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.527 | 3.819 |
| 22 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.505 | 3.792 |
| 23 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.485 | 3.767 |
| 24 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.467 | 3.745 |
| 25 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.450 | 3.725 |
| 26 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.435 | 3.707 |
| 27 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.421 | 3.690 |
| 28 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.408 | 3.674 |
| 29 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.396 | 3.659 |
| 30 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.385 | 3.646 |
| 40 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 3.307 | 3.551 |
| 60 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 3.232 | 3.460 |
| 120 | 1.658 | 1.980 | 2.358 | 2.617 | 3.160 | 3.373 |
| ∞ | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 3.090 | 3.291 |
2.2.ttкр.αtttкр.αэкспериментальные данные, с вероятностью 0.95αне противоречат гипотезе
Задачи, виды и показатели корреляционно-регрессионного анализа
Задачи КРА заключаются в:
- идентификации наиболее значимых факторов влияния на конкретный показатель деятельности предприятия;
- количественном измерении тесноты выявленных связей между показателями;
- определении неизвестных причин возникновения связей;
- всесторонней оценке факторов, которые признаны наиболее важными для рассматриваемого показателя;
- выведении формулы уравнения регрессии;
- составлении прогноза возможного результата деятельности при изменении ключевых связанных факторов с учетом возможного влияния других факторных признаков.
КРА подразумевает использование нескольких видов корреляционных и регрессионных методов. Зависимости выявляются при помощи корреляций таких типов:
- парная, если связь устанавливается с участием двух признаков;
- частная – взаимосвязь оценивается между искомым показателем и одним из ключевых факторов, при этом условием задается постоянное значение комплекса других факторов (то есть числовое выражение всех остальных факторов в любых ситуациях будет приниматься за определенную неизменную величину);
- множественная – основу исследования составляет влияние на показатель деятельности не одного фактора, а сразу нескольких критериев (двух и более).
СПРАВОЧНО! Выявленные показатели степени тесноты связей отражаются коэффициентом корреляции.
На выбор коэффициента влияет шкала измерения признаков:
- Шкала номинальная, которая предназначена для приведения описательных характеристик объектов.
- Шкала ординальная нужна для вычисления степени упорядоченности объектов в привязке к одному и более признакам.
- Шкала количественная используется для отражения количественных значений показателей.
Регрессионный анализ пользуется методом наименьших квадратов. Регрессия может быть линейной и множественной. Линейный тип предполагает модель из связей между двумя параметрами. Например, при наличии таких двух критериев, как урожайность клубники и полив, понятно, что именно объем поступающей влаги будет влиять на объем выращенной и собранной клубники. Если полив будет чрезмерным, то урожай пропадет. Урожайность же клубники никак не может воздействовать на систему полива.
Множественная регрессия учитывает более двух факторов одновременно. В случае с клубникой при оценке ее урожайности могут использоваться факторы полива, плодородности почвы, температурного режима, отсутствия слизняков, сортовые особенности, своевременность внесения удобрений. Все перечисленные показатели в совокупности оказывают комплексное воздействие на искомое значение – урожайность ягод.
Система показателей анализа формируется критериями классификации. Например, при экстенсивном типе развития бизнеса в качестве показателей могут выступать такие факторы:
- количество сотрудников;
- число заключенных договоров за отчетный период;
- посевные площади;
- прирост поголовья скота;
- расширение дилерской сети;
- объем основных фондов.
При интенсивном типе развития могут применяться следующие показатели:
- производительность труда;
- рентабельность;
- урожайность;
- фондоотдача;
- ликвидность;
- средний объем поставок в отчетном периоде по одному договору.
Матрицы корреляции
Корреляционная матрица случайных величин — это матрица, элементом которой является . Таким образом, диагональные элементы равны единице . Если меры корреляции используется коэффициенты продукта момент, корреляционная матрица является таким же , как ковариационная матрица из стандартизованных случайных величин для . Это применимо как к матрице корреляций совокупности (в этом случае — стандартное отклонение совокупности), так и к матрице корреляций выборки (в этом случае обозначает стандартное отклонение выборки). Следовательно, каждая из них обязательно является положительно-полуопределенной матрицей . Более того, корреляционная матрица является строго положительно определенной, если никакая переменная не может иметь все свои значения, точно сгенерированные как линейная функция значений других.
п{\ displaystyle n}Икс1,…,Иксп{\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}п×п{\ Displaystyle п \ раз п}(я,j){\ displaystyle (я, j)}корр(Икся,Иксj){\ displaystyle \ operatorname {corr} (X_ {i}, X_ {j})} Иксяσ(Икся){\ Displaystyle X_ {i} / \ sigma (X_ {i})}язнак равно1,…,п{\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}σ{\ displaystyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ sigma}
Матрица корреляции является симметричной, потому что корреляция между и такая же, как корреляция между и .
Икся{\ displaystyle X_ {i}}Иксj{\ displaystyle X_ {j}}Иксj{\ displaystyle X_ {j}}Икся{\ displaystyle X_ {i}}
Матрица корреляции появляется, например, в одной формуле для , меры согласия в множественной регрессии .
В статистическом моделировании корреляционные матрицы, представляющие отношения между переменными, подразделяются на различные корреляционные структуры, которые различаются такими факторами, как количество параметров, необходимых для их оценки. Например, в заменяемой корреляционной матрице все пары переменных моделируются как имеющие одинаковую корреляцию, поэтому все недиагональные элементы матрицы равны друг другу. С другой стороны, авторегрессионная матрица часто используется, когда переменные представляют собой временной ряд, поскольку корреляции, вероятно, будут больше, когда измерения ближе по времени. Другие примеры включают независимый, неструктурированный, M-зависимый и Toeplitz.
В поисковом анализе данных , то иконография корреляций состоит в замене корреляционной матрицы на диаграмме , где «замечательные» корреляции представлены сплошной линией (положительная корреляция), или пунктирной линией (отрицательная корреляция).
Как проводится корреляционный анализ в Excel
Суть данного анализа сводится к выявлению зависимостей между различными факторами, представленными в таблицах. Таким образом можно определить как повлияет уменьшение или увеличение определенных показателей на исследуемые данные.
Если была выявлена зависимость, то определяется уже коэффициент корреляции. Коэффициент будет варьироваться в значениях от -1 до +1. При положительной корреляции, увеличение одного показателя повлечет за собой увеличение другого. Соответственно при отрицательной будет уменьшение. Чем больше значение корреляции, тем сильнее оказываемое влияние.
Для примера возьмем таблицу, где представлена прямая зависимость одних показателей от других. Например, зарплата сотрудников и величина прибыли компании. Далее рассмотрим два способа реализации корреляционного анализа на примере этой таблицы.
Вариант 1: Вызов через Мастер функций
В отличии от некоторых других типов анализов, корреляционный анализ можно вызвать с помощью функций. За него отвечает функция КОРРЕЛ вида: КОРРЕЛ(массив1;массив2):
- Выделите ячейку в таблицу, куда хотите вставить полученный результат. В строке ввода формул воспользуйтесь значком функции.
Откроется окно мастера функций. В поле “Категория” нужно поставить значение “Полный алфавитный перечень”, чтобы отобразились все доступные для применения функции. Там отыщите пункт “КОРРЕЛ” нажмите по нему и затем на кнопку “Ок”.
Вам потребуется заполните в окошке настройки функции два поля, то есть указать два массива ячеек. В первый массив укажите номера ячеек, зависимость которых следует определить. Для рассматриваемой таблицы это будет массив столбца дохода компании. Номера можно вписать вручную или выделить их, кликнув по иконке таблицы в поле.
Во втором же массиве потребуется указать перечень ячеек, которые предположительно должны оказывать влияние на первый массив. В рассматриваемой таблице это величина зарплат сотрудников.
Закончив с заполнением нажмите кнопку “Ок”. Подсчет будет произведен автоматически и выведен в указанной ранее ячейке.
Если полученный коэффициент оказался больше +/-0.5, то это значит, что одна величина сильно зависима от другой.
Вариант 2: Применение пакета анализа
Вы можете использовать уже заданный шаблон корреляционного анализа, используя один из представленных пакетов анализа. По умолчанию пакеты анализа в Excel отключены, поэтому вам потребуется их включать отдельно.
- Перейдите во вкладку “Файл”, что расположена в верхней части окна.
В левой части переключитесь в раздел “Параметры”.
Откройте подраздел “Надстройки”, что находятся в левой части окна с параметрами.
У строки “Управление”, что расположена в нижней части открывшегося окна, установите значение “Надстройки Excel”. Нажмите “Перейти”, чтобы увидеть перечень доступных надстроек.
В открывшемся окне установите галочку у пункта “Пакет анализа” и нажмите “Ок”. После этого у вас должны появится дополнительные инструменты в верхней панели Excel.
Нужные нам инструменты расположена во вклакде “Данные”. Там должен будет появится дополнительный блок инструментов — “Анализ”. Воспользуйтесь в нем единственным инструментом — “Анализом данных”.
Открывается список с различными вариантами анализа данных. Укажите пункт “Корреляция”. Нажмите “Ок” для применения.
В открывшемся окошке настройки анализа уже потребуется заполнить только поле “Входной интервал”. Туда добавляется сразу два массива. В нашем случае это столбцы с зарплатой и доходом фирмы.
В блоке ниже можно указать, куда будет выводится результат. По умолчанию он выводит на новый рабочий лист, но вы можете настроить вывод в новую книгу или в определенных ячейках на текущем листе. Нажмите для применения и расчетов.
В итоге вы получите тот же результат, что и в первом способе. Единственное, в некоторых таблицах, при обработке большего количества данных значений может быть гораздо больше (в основном носят вспомогательный характер).
Первый рассмотренный нами способ подойдет для большинства таблиц, в то время как второй больше подходит для таблиц с большим перечнем данных, где еще желательно отследить логику проводимого анализа.
Использование MS EXCEL для расчета ковариации
Ковариация
близка по смыслу с дисперсией (также является мерой разброса) с тем отличием, что она определена для 2-х переменных, адисперсия — для одной. Поэтому, cov(x;x)=VAR(x).
Для вычисления ковариации в MS EXCEL (начиная с версии 2010 года) используются функции КОВАРИАЦИЯ.Г() и КОВАРИАЦИЯ.В() . В первом случае формула для вычисления аналогична вышеуказанной (окончание .Г
обозначаетГенеральная совокупность ), во втором – вместо множителя 1/n используется 1/(n-1), т.е. окончание.В обозначаетВыборка .
Примечание
: Функция КОВАР() , которая присутствует в MS EXCEL более ранних версий, аналогична функции КОВАРИАЦИЯ.Г() .
Примечание
: Функции КОРРЕЛ() и КОВАР() в английской версии представлены как CORREL и COVAR. Функции КОВАРИАЦИЯ.Г() и КОВАРИАЦИЯ.В() как COVARIANCE.P и COVARIANCE.S.
Дополнительные формулы для расчета ковариации
= СУММПРОИЗВ(B28:B88-СРЗНАЧ(B28:B88);(D28:D88-СРЗНАЧ(D28:D88)))/СЧЁТ(D28:D88)
= СУММПРОИЗВ(B28:B88-СРЗНАЧ(B28:B88);(D28:D88))/СЧЁТ(D28:D88)
= СУММПРОИЗВ(B28:B88;D28:D88)/СЧЁТ(D28:D88)-СРЗНАЧ(B28:B88)*СРЗНАЧ(D28:D88)
Эти формулы используют свойство ковариации
Если переменные x
иy независимые, то их ковариация равна 0. Если переменные не являются независимыми, то дисперсия их суммы равна:
VAR(x+y)= VAR(x)+ VAR(y)+2COV(x;y)
А дисперсия
их разности равна
VAR(x-y)= VAR(x)+ VAR(y)-2COV(x;y)
Расчет коэффициента корреляции
Теперь давайте попробуем посчитать коэффициент корреляции на конкретном примере. Имеем таблицу, в которой помесячно расписана в отдельных колонках затрата на рекламу и величина продаж. Нам предстоит выяснить степень зависимости количества продаж от суммы денежных средств, которая была потрачена на рекламу.
Способ 1: определение корреляции через Мастер функций
Одним из способов, с помощью которого можно провести корреляционный анализ, является использование функции КОРРЕЛ. Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2).
- Выделяем ячейку, в которой должен выводиться результат расчета. Кликаем по кнопке «Вставить функцию», которая размещается слева от строки формул.
В списке, который представлен в окне Мастера функций, ищем и выделяем функцию КОРРЕЛ. Жмем на кнопку «OK».
Открывается окно аргументов функции. В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. В нашем случае это будут значения в колонке «Величина продаж». Для того, чтобы внести адрес массива в поле, просто выделяем все ячейки с данными в вышеуказанном столбце.
В поле «Массив2» нужно внести координаты второго столбца. У нас это затраты на рекламу. Точно так же, как и в предыдущем случае, заносим данные в поле.
Жмем на кнопку «OK».
Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,97, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.
Способ 2: вычисление корреляции с помощью пакета анализа
Кроме того, корреляцию можно вычислить с помощью одного из инструментов, который представлен в пакете анализа. Но прежде нам нужно этот инструмент активировать.
- Переходим во вкладку «Файл».
В открывшемся окне перемещаемся в раздел «Параметры».
Далее переходим в пункт «Надстройки».
В нижней части следующего окна в разделе «Управление» переставляем переключатель в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «OK».
В окне надстроек устанавливаем галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».
После этого пакет анализа активирован. Переходим во вкладку «Данные». Как видим, тут на ленте появляется новый блок инструментов – «Анализ». Жмем на кнопку «Анализ данных», которая расположена в нем.
Открывается список с различными вариантами анализа данных. Выбираем пункт «Корреляция». Кликаем по кнопке «OK».
Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. В нашем случае это данные в столбцах «Затраты на рекламу» и «Величина продаж».
Параметр «Группирование» оставляем без изменений – «По столбцам», так как у нас группы данных разбиты именно на два столбца. Если бы они были разбиты построчно, то тогда следовало бы переставить переключатель в позицию «По строкам».
В параметрах вывода по умолчанию установлен пункт «Новый рабочий лист», то есть, данные будут выводиться на другом листе. Можно изменить место, переставив переключатель. Это может быть текущий лист (тогда вы должны будете указать координаты ячеек вывода информации) или новая рабочая книга (файл).
Когда все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».
Так как место вывода результатов анализа было оставлено по умолчанию, мы перемещаемся на новый лист. Как видим, тут указан коэффициент корреляции. Естественно, он тот же, что и при использовании первого способа – 0,97. Это объясняется тем, что оба варианта выполняют одни и те же вычисления, просто произвести их можно разными способами.
Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа. Результат вычислений, если вы все сделаете правильно, будет полностью идентичным. Но, каждый пользователь может выбрать более удобный для него вариант осуществления расчета.
Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Корреляционная функция
Для графического отображения полученных результатов применяют корреляционную функцию (КФ), являющуюся зависимостью коэффициента корреляции явления от временного сдвига (лага). Существует два вида КФ: классическая, или техническая, и интервальная (рис. 7 и рис. 8 соответственно). Классическая корреляционная функция для анализа ЭЭГ не подходит, т.к. при разных t анализу будут подлежать участки разной протяженности, а для сопоставимости коэффициентов корреляции это допустимо только в случае стационарности процессов, которые сохраняют свои свойства на всей протяженности.
Классическая корреляционная функция имеет недостатки:
- невозможность сопоставлять коэффициенты корреляции, которые были вычислены для фрагментов ЭЭГ с различной протяженностью, поскольку полученные коэффициенты будут иметь разные характеристики (т.к. ЭЭГ не является стационарным процессом)
- размер выборки может отличаться; величины на одном конце функции могут быть значимые, а на другом – нет.
Рисунок 7. Классическая, или техническая, корреляционная функция
При построении интервальной корреляционной функции на записи сигнала обращают внимание на корреляционный образец χ длиной Δt, от которого начинается эпоха анализа Т. Чтобы найти связь между явлениями χ при изменении t, необходим анализ равноразмерных участков γ, которые сдвинуты относительно χ на значение τ
(рис. 8)
Если сравнивать интервальную и классическую корреляционные функции, то можно заметить, что интервальная функция имеет несколько преимуществ:
- Используется чаще при выявлении задержек в ЭЭГ-сигнале;
- Повторение этапов высоких значений при сдвигах образца;
- Ее легко интерпретировать.
При исследовании интервальной корреляционной функции необходимо отметить, что высокие значения функции при автокорреляции – это возможное следствие возврата к исходному функциональному состоянию, а в случае кросскорреляционной функции – задержки передачи сигнала между отведениями.
Рисунок 8. Интервальная корреляционная функция
Наиболее чувствительный метод для поиска различий в ЭЭГ-сигналах – огибающая ЭЭГ, оценивающая меру синхронности или асинхронности изменений постсинаптических потенциалов в исследуемых отведениях (амплитуда сигнала повышается при одновременном изменении двух сигналов).
ТРЕТИЙ СПОСОБ
Третий способ представления данных корреляционного анализа наиболее распространен как в Российских научных публикациях, так и в зарубежных. В заголовке таблицы указывается, что это корреляционная матрица, указывается также объем выборки (n).
Значимость коэффициента корреляции обозначается знаком (*), который ставится над коэффициентом корреляции в правом верхнем углу ячейки.
Правило следующее: одна * ставится при p<0,05; две * ставятся, при p<0,01; три * ставятся при р<0,001. Если у значения коэффициента корреляции нет знака * — это означает, что он недостоверен. В табл.3. показан вариант представления данных третьим способом.
Таблица 3 — Корреляционная матрица результатов мальчиков-пловцов 13 лет, (n= 13)
| № | Тест | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Темп, гр/мин | 1 | 0,135 | 0,167 | 0,371 | 0,105 |
| 2 | Время проплывания 25 м, с | 1 | 0,911*** | 0,679* | 0,859*** | |
| 3 | Время проплывания 50 м, с | 1 | 0,861*** | 0,969*** | ||
| 4 | Время проплывания 100 м, с | 1 | 0,865*** | |||
| 5 | Время проплывания 200 м, с | 1 |
Примечание: * – коэффициент корреляции достоверен, р<0,05; *** – коэффициент корреляции достоверен, р<0,001.
Иногда в исследованиях представление результатов корреляционного анализа выглядит следующим образом (табл.4.)
Table 4. Matrix of Correlations between Intensity and Direction of the Components of Pre-Competitive Anxiety (Pineda-Espejel et al., 2013)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 1 | Cognitive Anxiety Intensity | |||||
| 2 | Somatic Anxiety Intensity | .550** | ||||
| 3 | Self-Confidence Intensity | -.305* | -.126 | |||
| 4 | Cognitive Anxiety Direction | .035 | .076 | .013 | ||
| 5 | Somatic Anxiety Direction | .044 | .135 | -.125 | .537** | |
| 6 | Self-Confidence Direction | -.258 | -.167 | .564** | -.163 | -.161 |
** Correlation is significant to the level of .01.
* Correlation is significant to the level of .05.
Иногда корреляционная матрица выглядит следующим образом (табл. 5).
Таблица 5. Корреляционная матрица результатов различных вариантов жима штанги лежа (Penido L.N. et al., 2012)
В этом случае авторы разместили коэффициенты корреляции слева-внизу, опустили нули в записи коэффициентов корреляции и не проставили цифру 1 на главной диагонали. Все это допускается при записи корреляционной матрицы.
