Онлайн калькулятор для работы с комплексными числами
Содержание:
Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры
Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами. 1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан
1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.
Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:
где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.
В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:
90
Ответ: единица
Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:
60
Решение: 0,5
Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.
Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав , появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.
Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе
позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».
Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:
35,140453 35,23459166666666666666
Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 35,140453
Десятичный логарифм онлайн
Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:
1
Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:
100
Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.
Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой .
Как пользоваться памятью на калькуляторе
Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.
Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.
MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.
Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:
145
После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:
На экране отобразится снова 145.
Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем , либо для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой получится 230, а во втором, после нажатия и получится 60.
Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.
Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и , если ,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Я распишу подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :
Пример 6
Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что
Комплексные числа стали ближе?
Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.
Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:
- Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
- Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.
Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.
Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.
Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.
Комплекс операций инженерного калькулятора
Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.
Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.
Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.
Ввод цифр производится в двух вариантах:
- с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
- с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами
Поиск множеств
Давайте углубимся немного в детали. При умножении отрицательных чисел (как -1), вы получаете множество:
1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Поскольку -1 не меняет размер числа, а только знак, вы получаете одно и то же число то со знаком «+», то со знаком «-». Для числа х у вас получится:
x, -x, x, -x, x, -x…
Это очень полезная мысль. Число «х» может представлять хорошие и плохие недели. Представим, что хорошая неделя сменяет плохую; это хорошая неделя; а какой будет 47-я неделя?
-x означает, что неделя выдастся плохой. Видите, как отрицательные числа «следят за знаком» — мы можем просто ввести (-1)^47 в калькуляторе вместо того, чтобы считать («Неделя 1 хорошая, неделя 2 плохая… неделя 3 хорошая…»). Вещи, которые постоянно чередуются можно отлично смоделировать, используя отрицательные числа.
Хорошо, а что будет, если мы продолжим умножать на i?
Очень смешно, давайте немного это всё упростим:
- (Тут вопросов быть не может)
- (Тут я тоже мало что могу)
- (В этом всё i)
- (Ага, 3 оборота против часовой стрелки = 1 оборот по часовой стрелке. Всё четко)
- (4 оборота дают в сумме «полный круг»)
- (И снова по кругу…)
Вот всё то же представлено графически:
Мы повторяем цикл каждый 4-й поворот. В этом определенно есть смысл, да? Любой ребенок скажет вам, что 4 поворота влево — это всё равно, что не поворачиваться вовсе. А теперь оторвитесь от мнимых чисел (i, i^2)и посмотрите на общее множество:
X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Точно, как отрицательные числа моделируют зеркальное отражение чисел, мнимые числа могут моделировать что угодно, что вращается между двумя измерениями «Х» и «Y». Или что угодно с циклической, круговой зависимостью — есть что-нибудь на примете?
Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах
Как возвести в степень
Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:
12 3
12, клавиша «икс в степени игрик» , 3, знак равенства
Ответ: 1728
Как найти корень кубический
Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:
729
729, «кубический корень из икс», равенства
Как найти корень на калькуляторе
Задача: Найти квадратный корень 36.
Решение: всё просто, нажимаем так:
36 y√x] 2
36, «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно
Ответ: 6
При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.
Как возвести в квадрат
Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:
«икс в степени игрик», «икс в квадрате»
Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».
Например: 45 6
Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625
Сопряженные числа и их свойства
Пусть —
комплексное число. Число ,
отличающееся от числа лишь знаком
при мнимой части, называется числом, сопряжённым с .
Свойства сопряжённых чисел
1) (число,
сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);
2) если и —
комплексные числа, то и
(число, сопряжённое
с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с
произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).
3) если ,
то и
— положительное
действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда ,
т. е. когда и
.
Пример 8. Даны комплексные числа
и
. Убедиться
в справедливости свойств сопряжённых чисел.
Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа
и . Сумма данных комплексных чисел:
,
а произведение:
.
В свою очередь
,
Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.
Примеры решений задач с комплексными числами
Пример 1
Задача
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах
Решение
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент комплексного числа:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Ответ
Пример 2
Задача
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах
Решение
Найдём модуль комплексного числа:
Найдём аргумент комплексного числа:
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа:
Ответ
Пример 3
Задача
Найти сумму комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 4
Задача
Найти разность комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 5
Задача
Найти произведение комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 6
Задача
Найти
Решение
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
По формуле Муавра получаем:
Ответ
Пример 7
Задача
Найти частное комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 8
Задача
Найти частное комплексных чисел и
Решение
Ответ
Пример 9
Задача
Найти
Решение
Число в тригонометрической форме имеет вид:
При :
При :
При :
Ответ
при
при
при
Пример 10
Задача
Найти
Решение
Число в тригонометрической форме имеет вид:
При :
При :
Ответ
при
при
Давайте действительно поймем, что такое отрицательные числа
Отрицательные числа не так просты. Представьте, что вы — европейский математик в XVIII веке. У вас есть 3 и 4, и вы можете написать 4 – 3 = 1. Всё просто.
Но сколько будет 3 – 4? Что, собственно, это означает? Как можно отнять 4 коровы от 3? Как можно иметь меньше, чем ничего?
Отрицательные числа рассматривались как полная чушь, что-то, что «бросало тень на всю теорию уравнений» (). Сегодня было бы полной чушью думать об отрицательных числах, как о чем-то нелогичном и неполезном. Спросите вашего учителя, нарушают ли отрицательные числа основы математики.
Что же произошло? Мы изобрели теоретическое число, которое обладало полезными свойствами. Отрицательные числа нельзя потрогать или ощутить, но они хорошо описывают определенные связи (как задолженность, например). Это очень полезная выдумка.
Вместо того, чтобы сказать «Я должен вам 30», и читать слова, чтобы понять в плюсе я или в минусе, я могу просто записать «-30», и знать, что это означает. Если я заработаю деньги и оплачу свои долги (-30 + 100 = 70), я смогу легко записать эту транзакцию несколькими символами. У меня останется +70.
Знаки плюса и минуса автоматически фиксируют направление — вам не нужно целое предложение, чтобы описать изменения после каждой транзакции. Математика стала проще, элегантнее
Стало не важно, являются ли отрицательные числа «осязаемыми» — у них есть полезные свойства, и мы пользовались ими, пока они крепко не вошли в наш обиход. Если кто-то из ваших знакомых еще не понял суть отрицательных чисел, теперь вы ему поможете
Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений.
Странно требовать от детей, чтобы они спокойно понимали идеи, которые когда-то смущали даже самых лучших математиков.
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
| (3) |
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
| (4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
| Расположениечисла z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
| Положительная вещественнаяполуось |
x > 0 , y = 0 |
φ = 2kπ | ||
|
x > 0 , y > 0 |
||||
| Положительнаямнимаяполуось |
x = 0 , y > 0 |
|||
|
x < 0 , y > 0 |
||||
| Отрицательнаявещественнаяполуось |
x < 0 , y = 0 |
π | φ = π + 2kπ | |
|
x < 0 , y < 0 |
||||
| Отрицательнаямнимаяполуось |
x = 0 , y < 0 |
|||
|
x > 0 , y < 0 |
| Расположениечисла z | Положительнаявещественнаяполуось |
| Знаки x и y |
x > 0 , y = 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | φ = 2kπ |
| Примеры |
| Расположениечисла z | |
| Знаки x и y |
x > 0 , y > 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
| Расположениечисла z | Положительнаямнимаяполуось |
| Знаки x и y |
x = 0 , y > 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
| Расположениечисла z | |
| Знаки x и y |
x < 0 , y > 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
| Расположениечисла z | Отрицательнаявещественнаяполуось |
| Знаки x и y |
x < 0 , y = 0 |
| Главноезначениеаргумента | π |
| Аргумент | φ = π + 2kπ |
| Примеры |
| Расположениечисла z | |
| Знаки x и y |
x < 0 , y < 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
| Расположениечисла z | Отрицательнаямнимаяполуось |
| Знаки x и y |
x = 0 , y < 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
| Расположениечисла z | |
| Знаки x и y |
x < 0 , y < 0 |
| Главноезначениеаргумента | |
| Аргумент | |
| Примеры |
|
Расположение числа z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 , y = 0 Главное значение аргумента: Аргумент: φ = 2kπ Примеры: |
|
Расположение числа z : Знаки x и y : x > 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
|
Расположение числа z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
|
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
|
Расположение числа z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 , y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры: |
|
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
|
Расположение числа z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
|
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Мир математики
Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:
вводите условия в соответствующие поля;
- выбираете нужное действие;
- после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.
Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.
Полезный контент:
- Формат heic, чем открыть, что это такое?
- Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
- Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
- Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
- Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут
Реальный пример: Вращения
Мы не будем дожидаться университетского курса физики, чтобы попрактиковаться с комплексными числами. Мы займемся этим уже сегодня. Много можно рассказать на тему умножения комплексных чисел, но пока нужно понять главное:
Умножение на комплексное число совершает вращение на его угол
Давайте посмотрим, как это работает. Представьте, что я на лодке, движусь с курсом 3 единицы на Восток каждые 4 единицы на Север. Я хочу изменить свой курс на 45 градусов против часовой стрелки. Каким будет мой новый курс?
Кто-то может сказать «Это просто! Вычислите синус, косинус, погуглите значение по тангенсу…и тогда…» Кажется, я сломал свой калькулятор…
Давайте пойдем более простым путем: мы идем по курсу 3 + 4i (не важно, какой тут угол, нам всё равно пока) и хотим повернуться на 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идеальная диагональ)
Так что мы можем умножить наш курс на это число!
Вот в чем суть:
- Исходный курс: 3 единицы на Восток, 4 единицы на Север = 3 + 4i
- Вращение против часовой стрелки на 45 градусов = умножение на 1 + i
При умножении мы получаем:
Наш новый ориентир — 1 единица на Запад (-1 на Восток) и 7 единиц на Север, можете нарисовать координаты на графике и следовать им.
Но! Мы нашли ответ за 10 секунд, без всяких синусов и косинусов. Не было векторов, матриц, отслеживания, в каком квадранте мы находимся. Это была простая арифметика и немного алгебры для приведения уравнения. Мнимые числа отлично справляются с вращением!
Более того, результат такого вычисления очень полезен. У нас есть курс (-1, 7) вместо угла (atan(7/-1) = 98.13, и сразу ясно, что мы во втором квадранте. Как, собственно, вы планировали нарисовать и следовать указанному углу? Используя транспортир под рукой?
Нет, вы бы конвертировали угол в косинус и синус (-0.14 и 0.99), нашли бы примерное соотношение между ними (около 1 к 7) и набросали бы треугольник. И тут комплексные числа несомненно выигрывают — аккуратно, молниеносно, и без калькулятора!
Если вы похожи на меня, то это открытие покажется вам сногсшибательным. Если нет, боюсь, что математика вас совсем не зажигает. Уж извините!
Тригонометрия хороша, но комплексные числа значительно упрощают вычисления (вроде поиска cos(a + b)). Это только маленький анонс; в следующих статьях я предоставлю вам полное меню.
Лирическое отступление: некоторые люди думают примерно так: «Эй, ну не удобно же иметь курс Север/Восток вместо простого угла для следования судна!»
Правда? Ну хорошо, посмотрите на свою правую руку. Какой угол между основанием вашего мизинца и кончиком указательного пальца? Удачи с вашим способом вычисления.
А можно просто ответить «Ну, кончик находится на Х дюймов вправо и Y дюймов вверх» и с этим уже можно что-то сделать.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Сложение и вычитание комплексных чисел — это безусловно, самая простая и понятная операция. Сложение/вычитание действительных частей комплексного числа переводит точку вправо/влево на действительной оси, а сложение/вычитание мнимых частей комплексного числа переводит точку вверх/вниз на мнимой оси.
Арифметически это работает так же, как объединение одинаковых членов в алгебре.
Например, если мы вычтем 1 — 4i из 3 + 2i, мы просто находим разницу действительных 3 — 1 = 2 и мнимых 2i — (-4i ) = 2i + 4i = 6i частей.
Это то же самое, что построить точку 3 + 2i и перенести ее влево на 1 единицу и вверх на 4 единицы. Получившаяся точка — это итоговый результат: 2 + 6i.
Также можно представить точки комплексной плоскости как вектор (Вектор – отрезок соединяющий две точки для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом). В нашем случаем началом будет начало координат (0,0), а концом сама точка. Теперь внесём знак минус под скобки, чтобы у нас было сложение:
(3 + 2i) + (-1 + 4i)
И затем построим два вектора.
Чтобы узнать результат сложения перенесём параллельно начало одного вектора в конец второго. Поскольку сложение является коммутативным, не имеет значения, каким образом мы их складываем. a+b=b+а (свойство коммутативности)
Это может показаться излишним, но вот в чем дело: понимание векторного представления сделает умножение и деление комплексных чисел намного проще.
Эпилог: Но они по-прежнему довольно странные!
Я знаю, они и для меня всё еще выглядят странными. Я пытаюсь мыслить, как мыслил первый человек, открывший ноль.
Ноль — это такая странная идея, «что-то» представляет «ничего», и это никак не могли понять в Древнем Риме. То же самое и с комплексными числами — это новый способ мышления. Но и ноль, и комплексные числа значительно упрощают математику. Если бы мы никогда не внедряли странности вроде новых систем счисления, мы бы до сих пор считали всё на пальцах.
Я повторяю эту аналогию, потому что так легко начать думать, что комплексные числа «не нормальные». Давайте быть открытыми к новшествам: в будущем люди будут только шутить над тем, как кто-то вплоть до XXI века не верил в комплексные числа.
Перевод статьи «A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers»
Понимание комплексных чисел
Есть еще одна деталь для рассмотрения: может ли число быть и «реальным», и «мнимым»?
Даже не сомневайтесь. Кто сказал, что нам обязательно нужно поворачивать строго на 90 градусов? Если мы одной ногой станем на «реальную» размерность, а другой — на «мнимую», то будет выглядеть примерно так:
Мы находимся на отметке в 45 градусов, где вещественная и мнимая части одинаковы, и само число равно «1 + i». Это как хот-дог, где есть и кетчуп, и горчица — кто сказал, что нужно обязательно выбирать что-то одно?
По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения». Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:
- a — вещественная часть
- b — мнимая часть
Неплохо. Но остается один последний вопрос: как «велико» комплексное число? Мы не можем измерить вещественную часть или мнимую отдельно, потому что мы упустим общую картину.
Давайте сделаем шаг назад. Размер отрицательного числа — это расстояние от нуля:
Это другой способ найти абсолютную величину. Но как измерить оба компонента на 90 градусах для комплексных чисел?
Это птица в небе… или самолет… Пифагор спешит на помощь!
Эта теорема выскакивает, где только можно, даже в числах, придуманных через 2000 лет после самой теоремы. Да, мы делаем треугольник, и его гипотенуза и будет равна расстоянию от нуля:
Хоть измерить комплексное число не так просто, как «просто опустить знак -», у комплексных чисел есть очень полезные применения. Давайте рассмотрим некоторые из них.
